这刑事拘留执行应该要怎么进行相应的执行呢？

对刑事拘留执行逮捕、预审，由公安机关负责。检察、批准逮捕、检察机关直接受理的案件的侦查、提起公诉，由人民检察院负责。审判由人民法院负责。除法律特别规定的以外，其他任何机关、团体和个人都无权行使这些权力。第四条国家安全机关依照法律规定，办理危害国家安全的刑事案件，行使与公安机关相同的职权。第二百二十五条军队保卫部门对军队内部发生的刑事案件行使侦查权。
对罪犯在监狱内犯罪的案件由监狱进行侦查。军队保卫部门、监狱办理刑事案件，适用本法的有关规定。所以说，其实刑事诉讼法已经明确规定了国家安全机关、军队保卫部门及监狱都是可以管辖在其职责范围内的案件，而且行使与公安机关相同的权力。