依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之规定,当被刑事拘留期限已满三十七个自然日后,如公安机关仍需对犯罪嫌疑人进行逮捕处理,应当在拘留期满后的三日内向当地人民检察院提出书面申请,请求其进行审查与批准。针对某些特殊情形,提请审查及批准的时间可适当延长,最多可延长到四个工作日之内。若涉及流窜犯罪、屡次犯罪以及有团伙作案等情形的重大犯罪嫌疑人,则提请审查及批准的时间甚至可以延长期限至三十日。倘若当地人民检察院在收到公安机关提交的批准逮捕申请书之后的七个自然日内做出了批准逮捕的决定,那么公安机关应严格按照该决定执行逮捕事宜。反之,若人民检察院未批准逮捕,公安机关应在接获相关通知后立即释放犯罪嫌疑人,同时将执行情况及时告知人民检察院。若案件仍需进一步侦查,且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住的条件,公安机关应依法采取相应措施。因此,在刑事拘留期限已满三十七个自然日后,可能会出现以下几种流程:若尚未获得批准逮捕,公安机关应释放犯罪嫌疑人并通知当地人民检察院;若批准逮捕,公安机关应严格执行逮捕命令;若案件仍需进一步侦查,公安机关应考虑是否对犯罪嫌疑人采取取保候审或监视居住的强制措施。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人,认为需要逮捕的,应当在拘留后的三日以内,提请人民检察院审查批准。在特殊情况下,提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子,提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内,作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的,公安机关应当在接到通知后立即释放,并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查,并且符合取保候审、监视居住条件的,依法取保候审或者监视居住。